Cet ouvrage explore la "planète" R, ensemble des nombres réels, en décrivant de façon élémentaire et imagée ses habitants et leurs propriétés. De nombreux exemples remarquables du point de vue arithmétique ou topologique sont présentés. Les thèmes sont abordés comme s’il s’agissait d’histoires courtes, indépendantes les unes des autres. Un index détaillé permet de naviguer d’un sujet à l’autre. Les démonstrations, classiques ou originales, sont élégantes sans être trop approfondies, compte tenu du public visé. Elles sont parfois illustrées par des exercices dont les corrrections sont données en fin d’ouvrage.
Au sommaire
Aspect arithmétique :
la découverte de Pythagore,
Euler et l’irrationalité de e,
le théorème de Lambert,
le théorème d’Hermite,
le théorème de Lindemann,
Euler et la fonction de Riemann,
théorèmes et nombres de Liouville,
les nombres constructibles,
transcendance des puissances de e.
Constructions, architecture et représentations :
représentation des réels,
les coupures de Dedekind,
les suites de Cauchy,
unicité de R,
topologie de l’ensemble des réels,
cardinal de l’ensemble des réels,
représentation des réels : écriture dans une base,
les fractions continues.
Quelques sous-ensembles remarquables de R :
les parties connexes et la propriété de la valeur intermédiaire,
le théorème de Cantor sur l’ordre des rationnels,
les parfaits de R et le théorème de Cantor-Bendixon,
les sous-groupes additifs de R,
de Jordan à Lebesgue : longueur d’une partie de R,
l’ensemble de Cantor,
espaces compacts et ensemble de Cantor,
caractérisation des segments,
parties de R de première et de seconde catégories de Baire.
Quelques bases utiles :
rudiments de théorie des ensembles et de topologie générale,
vocabulaire de l’algèbre générale.
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Titre
La Planète R
Format
17 x 24 - 248p, Broché - Noir et Blanc
Prix
22,5 €
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